表面上看在claim中描述數學關係式是危險的，因為可能會導致不明確（如果沒有寫好的話）、過度限縮專利範圍，或是面臨35U.S.C.101的挑戰。
針對101的教戰守則主要是依據2019年專利適格性指導方針（簡稱"2019PEG"）：https://www.uspto.gov/sites/default/files/documents/peg_oct_2019_update.pdf，之前筆記可參考：USPTO的2019開年禮之一 - 適格性指導方針（https://enpan.blogspot.com/2019/01/uspto2019.html）。
其中關於抽象概念（abstract idea）定義有：數學概念、組織人類活動與心智程序（mathematical concepts, certain methods of organizing human activities, and mental processes），本篇討論其中A. Mathematical Concepts：
2019PEG定義數學概念為：數學關係式、數學函數或方程式，以及數學計算等。在claim中寫入數學式直接就可能面對35U.S.C.101議題，然而，美國最高法院在Parker v. Flook判例表示，如果使用數學方程式是要解決工程問題，仍具備專利適格性。
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此案例過去曾討論過：以數學方法解決工程問題的可專利性 - PARKER v. FLOOK (1978)（https://enpan.blogspot.com/2019/10/parker-v-flook-1978.html）。判決日期：June 22, 1978
本案系爭專利關於一種在催化轉換過程設定警報的方法（method for updating alarm limits），其中新穎特徵就在數學式，美國最高法院在判決中先引用1970s年代經典案例 - Gottschalk v. Benson，說明新而有用的數學演算法為抽象概念，不可專利（"may not be patented"）。在本PARKER v. FLOOK (1978)案例中，主要議題是：是否有限類別的有用（即便是習知）且為後解決方案（post-solution）的數學方程式具有專利適格性？
－1972年最高法院判例Gottschalk v. Benson認為數學演算法為抽象概念（先前部落格文章：http://enpan.blogspot.tw/2009/01/history-of-software-patents-i.html），指出有關自然現象（phenomena of nature）、單純發現（though just discovered）、心智流程（mental process）與抽象智力概念（abstract intellectual concept）等非法定可專利標的。
系爭專利claim 1：
根據以上claim 1的內容，描述一個警報限制值（alarm limit），指的是針對催化轉換過程（catalytic conversion process）持續監控的運作條件（如溫度、壓力與流速）所設定的警報門檻，藉此發現過程中異常的運作條件，而這些運作條件的警報門檻在特定情況下需要週期性更新。
Claim 1描述三個階段，初始階段是量測催化轉換過程中的變數值，如溫度；中間階段是使用演算法（數學方程式：B[1]=B0(1.0-F)+PVL(F)）計算更新的警報值（updated alarm-limit value）；最後階段是將警報限制值調整到更新值。當時更新警報限制值已經是習知技術，系爭專利相應的新穎特徵就是中間階段的演算法。
問題是，中間階段的演算法與化學反應無關，主要就是根據監控的變數調整警報限制值。數學方程式被認定是抽象概念的主要理由是這是可以透過人以紙筆計算完成，但不同的是，系爭專利持續監控變數與自動調整警報限制值是需要通過電腦演算的。
（編按，事實上監控的變數應與反應過程有關）系爭專利範圍涵蓋使用數學方程式以更新在碳氫化合物催化轉換過程中變數的警報限制值。
審查歷史：
系爭專利在專利局審查過程被駁回的理由就是claim與已知技術的差異僅其中的數學式。在訴願階段仍維持專利局的審查意見。
上訴法院：
然而，到了上訴法院（當年為Court of Customs and Patent Appeals），認為Benson案僅適用整個專利範圍都是數學方程式的情況，而系爭專利範圍是在催化轉換過程中使用數學方法更新警報限制值，並且僅是數學方程式也不能建立其主張專利權的專利範圍，因此否決訴願決定。
上訴法院的意見：＂The court reasoned that since the mere solution of the algorithm would not constitute infringement of the claims, a patent on the method would not preempt the formula.＂。
Benson案意旨：
"[t]he mathematical formula involved here has no substantial practical application except in connection with a digital computer, which means that if the judgment below is affirmed, the patent would wholly preempt the mathematical formula and in practical effect would be a patent on the algorithm itself."
對此意見，專利局(局長，Acting Commissioner of Patents and Trademarks)向最高法院針對這類"軟體"專利（局長認定判決會增加更多這類如同軟體的專利，對軟體產業不利）提出調卷重審請願（petition for a writ of certiorari）。
最高法院階段：
主要議題是：系爭專利唯一可與現有技術區隔的特徵就是其中的數學方程式（因為沒有任一方挑戰其新穎性與非顯而易見性，因此先設此前提），如此，是否有限類別的有用（即便是習知）且為後解決方案（post-solution）的數學方程式具有專利適格性？
明顯地，系爭專利並非僅由數學方程式組成，並且應用數學方程式在特定領域，已經排除其他應用。
但專利權人主張系爭專利屬於一種＂specific post-solution activity＂/特定後解決方案的活動，不適用Benson案的解釋。不過，最高法院並不同意＂不論發明是如此習知或顯而易見，只要是post-solution activity就可將不可專利的原則轉為可專利的流程＂的主張，
也就是說，最高法院並不認為專利法35U.S.C.101可以如此簡單地被解決，因此列舉很多前例，認為本案必須考慮的是是否發明的原理或是數學方法是已知，而非僅用在特定領域就可以符合101專利適格性。
法官認為，第一，符合101專利適格性的流程仍需要查驗其實質專利性，也就是仍須符合102, 103要求（＂First, respondent incorrectly assumes that if a process application implements a principle in some specific fashion, it automatically falls within the patentable subject matter of § 101 and the substantive patentability of the particular process can then be determined by the conditions of §§ 102 and 103.＂）。
第二，針對專利權人依據上訴法院的判決的主張，系爭專利範圍不符合101適格性規定部是因為其包括了數學方程式，而是因為一旦數學方程式被認定是習知，整體來說為不可專利的發明（＂Our approach to respondent's application is, however, not at all inconsistent with the view that a patent claim must be considered as a whole. Respondent's process is unpatentable under § 101, not because it contains a mathematical algorithm as one component, but because once that algorithm is assumed to be within the prior art, the application, considered as a whole, contains no patentable invention.＂）
根據系爭專利範圍，其中關於化學的流程為已知，其中運用警報限制值觸發警報，而其中限制值需要一再地計算與調整，而需要使用電腦自動執行，發明就是提供了新的與可能比較好的方式計算警報限制值（alarm limit value）。如果其中方法是已知，其中主要的特徵就僅為數學方程式，即便其解決方案是針對特定目的，所主張的方法專利仍不符合專利適格性。
因此，最高法院否決上訴法院的意見，不同意上訴法院認為系爭專利範圍並非僅包括數學方程式，因此不適用Benson案，整體專利範圍應為可專利的意見。
my two cents:
這件案例到底說了什麼？本篇也沒有新的答案，因此可參考本部落格過去的結論：
"發明中的流程僅包括"已知"自然律或數學方程式，為不可專利的流程，系爭專利不符101規定倒也不是其包括了數學演算法，而是因為這個演算法為習知技術，其相關應用整體來說沒有包括具有專利性的特徵。"
（反過來說，如果發明使用了數學方程式，但具有進步性的應用仍具備可專利性。）
最高法院判決文：
- https://scholar.google.com.tw/scholar_case?case=12542933152070861616&q=PARKER+v.+FLOOK,+437+U.S.+584+(1978)&hl=en&as_sdt=2006&as_vis=1（此篇claim中的數學式是稍微清楚一點）
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以上各種案例整理以及相關文章：
－請求項中具有數學方程式的專利適格性議題可參考：引用數學方程式的申請專利範圍適格性議題的筆記（https://enpan.blogspot.com/2023/09/blog-post_26.html）
－經典案例Diamond v. Diehr (Supreme Court 1981)筆記（https://enpan.blogspot.com/2019/02/diamond-v-diehr-supreme-court-1981.html）
－請求項中有數學方程式不一定就不符專利適格性，可參考：使用數學概念的非習知方法並非抽象概念 - Thales Visionix Inc. v. United States (Fed. Cir. 2017)（https://enpan.blogspot.com/2023/09/thales-visionix-inc-v-united-states-fed.html）
－說明書表示數學方程式的規定可參考：專利說明書中「表格」的撰寫規定筆記（https://enpan.blogspot.com/2016/08/blog-post_78.html）
－以數學方法解決工程問題的可專利性 - PARKER v. FLOOK (1978)（https://enpan.blogspot.com/2019/10/parker-v-flook-1978.html）
－使用數學方法但產生實際應用為可專利標的 - Ex parte Hannun, 2018-003323 (Apr. 1, 2019)（https://enpan.blogspot.com/2020/01/ex-parte-linden-2018-003323-apr-1-2019.html）
Ron
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